# When Sudoku met Ratio

Continuing on from my previous sudoku...

I found an old piece of paper with a sudoku solution on it and vaguely remember solving it. This is unlike a simple solution however. You get no starting numbers.

The fractions are ratios. For instance 1/2 could be any pair of numbers in those two squares with the ratio 1:2, or 2:1 (it can be reversed to what it says) so 1 - 2, 2 - 1, 2 - 4, 4 - 2, 3 - 6, 6 - 3, 4 - 8, 8 - 4. Otherwise it is normal sudoku rules.

If anyone is unsure about what I mean then just ask an I'll try and explain

I'm not sure, but I think I found this on a website, so if I did then I don't claim this as my own...

• The middle row of the top-left 9 is (3,6,8). That's as much effort as I'm willing to put in. I'm generally bad at regular Sudoku; this looks impossible. :O – Ian MacDonald Oct 5 '16 at 20:41
• @IanMacDonald it cannot be due to the 5/8 in the same row. – Jonathan Allan Oct 5 '16 at 20:47
• That's because I obviously meant (3,6,4). :/ – Ian MacDonald Oct 5 '16 at 20:48

The solution is at the bottom, but note:

There are $3$ solutions.
Whoever made this puzzle must have spent quite some time making it, it's a shame it's not a proper sudoku after all that work.

Step 1

Only possibility for these four due to the 5/8 on the same row:

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3 6 4 | 1 · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
------+-------+------
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
------+-------+------
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·

Step 2:

Those restrict these four:

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3 6 4 | 1 · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
------+-------+-------
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
------+-------+-------
6 4 1 | 2 · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·

Step 3:

The 1/9 removes 9 from the 2/3 pairs in the same row, and the placed values then restrict this one:

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3 6 4 | 1 · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
------+-------+------
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
2 3 · | · · · | · · ·
------+-------+------
6 4 1 | 2 · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·

Step 4:

The 1/6 removes 6 from the 1/3 pair in the same row, and the placed values then restrict these four:

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3 6 4 | 1 · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
------+-------+------
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
2 3 · | · · · | · · ·
------+-------+------
6 4 1 | 2 · · | · · ·
· · 9 | 3 6 1 | · · ·
· · · | · · · | · · ·

Step 5:

The other 2/3 in the row with the 1/9 now must be:

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3 6 4 | 1 · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
------+-------+------
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
2 3 · | 6 4 · | · · ·
------+-------+------
6 4 1 | 2 · · | · · ·
· · 9 | 3 6 1 | · · ·
· · · | · · · | · · ·

Step 6:

And the 1/9, 1/8 can only be:

· · · | · · · | · · ·
3 6 4 | 1 · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
------+-------+------
· · · | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
2 3 · | 6 4 9 | 1 8 ·
------+-------+------
6 4 1 | 2 · · | · · ·
· · 9 | 3 6 1 | · · ·
· · · | · · · | · · ·

Step 7:

The 5/9 and 2/5 can only be:

· 5 2 | · · · | · · ·
3 6 4 | 1 · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
------+-------+------
· 9 5 | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
2 3 · | 6 4 9 | 1 8 ·
------+-------+------
6 4 1 | 2 · · | · · ·
· · 9 | 3 6 1 | · · ·
· · · | · · · | · · ·

Step 8:

The 1/2 at the bottom can only be:

· 5 2 | · · · | · · ·
3 6 4 | 1 · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
------+-------+------
· 9 5 | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
2 3 · | 6 4 9 | 1 8 ·
------+-------+------
6 4 1 | 2 · · | · · ·
· · 9 | 3 6 1 | · · ·
· · · | · 8 4 | · · ·

Step 9:

The 1/2 in top-middle can only be:

· 5 2 | · · · | · · ·
3 6 4 | 1 · · | · · ·
· · · | · 3 6 | · · ·
------+-------+------
· 9 5 | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
2 3 · | 6 4 9 | 1 8 ·
------+-------+------
6 4 1 | 2 · · | · · ·
· · 9 | 3 6 1 | · · ·
· · · | · 8 4 | · · ·

Step 10:

The 1/2 and 2/3 at the top could be:

· 5 2 | · · 3 | 6 4 ·
3 6 4 | 1 · · | · · ·
· · · | · 3 6 | · · ·
------+-------+------
· 9 5 | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
2 3 · | 6 4 9 | 1 8 ·
------+-------+------
6 4 1 | 2 · · | · · ·
· · 9 | 3 6 1 | · · ·
· · · | · 8 4 | · · ·
or
· 5 2 | · · 8 | 4 6 ·
3 6 4 | 1 · . | . . ·
· · · | · 3 6 | · · ·
------+-------+------
· 9 5 | · · · | · · ·
· · · | · · · | · · ·
2 3 · | 6 4 9 | 1 8 ·
------+-------+------
6 4 1 | 2 · · | · · ·
· · 9 | 3 6 1 | · · ·
· · · | · 8 4 | · · ·
The 5/8 could be either 58 or 85 in the first case, but only 58 in the second.
The bottom right 2/3 is all that remains which could be 23, 32, 69, or 96 (one of the last two being impossible in each of the two cases).

Step 11

The first of the two has no solutions
The second has three solutions (all 23 and 32 cases for bottom-right do not work out):

1 5 2 | 9 7 8 | 4 6 3
3 6 4 | 1 2 5 | 8 7 9
9 7 8 | 4 3 6 | 5 1 2
------+-------+------
4 9 5 | 8 1 2 | 7 3 6
8 1 6 | 7 5 3 | 9 2 4
2 3 7 | 6 4 9 | 1 8 5
------+-------+------
6 4 1 | 2 9 7 | 3 5 8
5 8 9 | 3 6 1 | 2 4 7
7 2 3 | 5 8 4 | 6 9 1

1 5 2 | 9 7 8 | 4 6 3
3 6 4 | 1 2 5 | 8 7 9
9 7 8 | 4 3 6 | 5 1 2
------+-------+------
4 9 5 | 8 1 3 | 7 2 6
8 1 6 | 7 5 2 | 9 3 4
2 3 7 | 6 4 9 | 1 8 5
------+-------+------
6 4 1 | 2 9 7 | 3 5 8
5 8 9 | 3 6 1 | 2 4 7
7 2 3 | 5 8 4 | 6 9 1

1 5 2 | 9 7 8 | 4 6 3
3 6 4 | 1 2 5 | 8 7 9
9 7 8 | 4 3 6 | 5 1 2
------+-------+------
8 9 5 | 7 1 3 | 2 4 6
4 1 6 | 8 5 2 | 9 3 7
2 3 7 | 6 4 9 | 1 8 5
------+-------+------
6 4 1 | 2 9 7 | 3 5 8
5 8 9 | 3 6 1 | 7 2 4
7 2 3 | 5 8 4 | 6 9 1

• Since there were some FGITW, I took my time to write up my steps. – Jonathan Allan Oct 5 '16 at 22:23
• Thanks for this, never knew there were multiple solutions! – Beastly Gerbil Oct 6 '16 at 6:01

I believe there are actually a few possible solutions to this. The first one by Gareth, and here are the others:

 1 5 2 9 7 8 4 6 3 3 6 4 1 2 5 8 7 9 9 7 8 4 3 6 5 1 2 4 9 5 8 1 X 7 Y 6 8 1 6 7 5 Y 9 X 4 2 3 7 6 4 9 1 8 5 6 4 1 2 9 7 3 5 8 5 8 9 3 6 1 2 4 7 7 2 3 5 8 4 6 9 1
The X's and Y's can resolve to two more solutions: X=2 and Y=3 or X=3 and Y=2. (For the record, Gareth and I have the same numbers in all of the "Ratio" slots; a few others are different because of a split path that I came across when coming close to solving it).

• You might be right. I got near to the end, thought "hmm, it's not obvious how to narrow this down further", made an arbitrary choice and reported the solution I gave above. Then I did what I thought was a quick verification that the other way to make the choice led to a contradiction -- but I may not have done that carefully enough :-). – Gareth McCaughan Oct 5 '16 at 21:40
• yes I got a similar solution where I just picked a number and continued until I had a complete solution, I think kiwi found all three possible answers. – MMAdams Oct 5 '16 at 21:44
• Nice - my working through agrees, and I've double checked it all using my computer too. – Jonathan Allan Oct 5 '16 at 22:24

I believe the solution is

 1 5 2 9 7 8 4 6 3 3 6 4 1 2 5 8 7 9 9 7 8 4 3 6 5 1 2 8 9 5 7 1 3 2 4 6 4 1 6 8 5 2 9 3 7 2 3 7 6 4 9 1 8 5 6 4 1 2 9 7 3 5 8 5 8 9 3 6 1 7 2 4 7 2 3 5 8 4 6 9 1

(No cleverness to report; just a standard inference-by-inference solution process.)

• Gah, just as I was typing my solution up... haha. Our solutions match, so chances are you're right :) – Kiwi Oct 5 '16 at 21:26
• Aw, I was working on this. D: – Deusovi Oct 5 '16 at 21:27

another solution -

152 978 463
364 125 879
978 436 512

495 812 736
816 753 924
237 649 185

641 297 358
589 361 247
723 584 691

Looks like it agrees with Kiwi's. found by picking a value where there was a split solution, and turns out multiple choices work fine.