Using a computer to attempt to beat my original solution I found some
$22$ move games
Here is one:
start
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1 2 3 · · · · ·
4 5 6 · · · · ·
7 8 9 · · · · ·
1
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· · · · · · · ·
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· · · · · · · ·
· · 6 · · · · ·
1 2 3 · · · · ·
4 5 · · · · · ·
7 8 9 · · · · ·
2
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· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · 3 · · · · ·
· · 6 · · · · ·
1 2 · · · · · ·
4 5 · · · · · ·
7 8 9 · · · · ·
3
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· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
1 2 · · · · · ·
4 5 · · · · · ·
7 8 9 · · · · ·
4
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· · · · · · · ·
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· · · 3 1 · · ·
· · 6 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 5 · · · · · ·
7 8 9 · · · · ·
5
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· · · · · · · ·
· · · · 1 · · ·
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 5 · · · · · ·
7 8 9 · · · · ·
6
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· · · · 7 · · ·
· · · · 1 · · ·
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 5 · · · · · ·
· 8 9 · · · · ·
7
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· · · · · 7 · ·
· · · · 1 · · ·
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 5 · · · · · ·
· 8 9 · · · · ·
8
· · · · · · · ·
· · · · · 7 9 ·
· · · · 1 · · ·
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 5 · · · · · ·
· 8 · · · · · ·
9
· · · · · 5 · ·
· · · · · 7 9 ·
· · · · 1 · · ·
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 · · · · · · ·
· 8 · · · · · ·
10
· · · · · 5 · ·
· · · · · 7 · 9
· · · · 1 · · ·
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 · · · · · · ·
· 8 · · · · · ·
11
· · · · · 5 · ·
· · · · · 7 · 9
· · · · 1 · · ·
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
4 2 · · · · · ·
· · · · · · · ·
· 8 · · · · · ·
12
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 · 9
· · · · 1 · · ·
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
4 2 · · · · · ·
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· 8 · · · · · ·
13
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 4 9
· · · · 1 · · ·
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
· · · · · · · ·
· 8 · · · · · ·
14
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 4 9
· · · · 1 · · ·
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
· 8 · · · · · ·
· · · · · · · ·
15
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 4 9
· · · · 1 · · 8
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
16
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 4 9
· · · · 1 · · 8
· · · 3 · · · ·
· 2 6 · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
17
· · · · · · 5 2
· · · · · 7 4 9
· · · · 1 · · 8
· · · 3 · · · ·
· · 6 · · · · ·
· · · · · · · ·
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18
· · · · · · 5 2
· · · · · 7 4 9
· · · · 1 · · 8
· · · 3 · · · ·
· · · 6 · · · ·
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19
· · · · · 6 5 2
· · · · · 7 4 9
· · · · 1 · · 8
· · · 3 · · · ·
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20
· · · · · 6 5 2
· · · · · 7 4 9
· · · 3 1 · · 8
· · · · · · · ·
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· · · · · · · ·
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21
· · · · · 6 5 2
· · · · · 7 4 9
· · · · 1 3 · 8
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
22
· · · · · 6 5 2
· · · · · 7 4 9
· · · · · 3 1 8
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
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I reduced the search space by not allowing stones to moves to (although they can jump via) the spots marked with an * below:
* * * * · · · ·
* * * · · · · ·
* * · · · · · ·
* · · · · * * *
· · · · * * * *
1 2 3 * * * * *
4 5 6 * * * * *
7 8 9 * * * * *
I then
searched for states reachable within $13$ moves and then searched for the existence of an inversion* of a depth $13$ state in the states reachable in up to $10$ moves.
* rotate $180^\circ$ and reflect in the diagonal from bottom-left to top-right.
This yielded (not counting those that could be reflected into the blocked off space space):
\begin{align}155\space&23\text{ move games}\\7\space&22\text{ move games}\end{align}
Of course
There could be games that use the blocked off space with even less moves.
My original (human only) attempt:
$24$
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4 5 6 · · · · ·
7 8 9 · · · · ·
1
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· · 3 · · · · ·
1 2 · · · · · ·
4 5 6 · · · · ·
7 8 9 · · · · ·
2
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· · 9 · · · · ·
· · 3 · · · · ·
1 2 · · · · · ·
4 5 6 · · · · ·
7 8 · · · · · ·
3
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· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
1 2 · · · · · ·
4 5 6 · · · · ·
7 8 · · · · · ·
4
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· · · 9 1 · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 5 6 · · · · ·
7 8 · · · · · ·
5
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· · · · 1 · · ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 5 6 · · · · ·
7 8 · · · · · ·
6
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· · · · 7 · · ·
· · · · 1 · · ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 5 6 · · · · ·
· 8 · · · · · ·
7
· · · · · · · ·
· · · · · 7 · ·
· · · · 1 · · ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 5 6 · · · · ·
· 8 · · · · · ·
8
· · · · · 5 · ·
· · · · · 7 · ·
· · · · 1 · · ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 · 6 · · · · ·
· 8 · · · · · ·
9
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 · ·
· · · · 1 · · ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 · 6 · · · · ·
· 8 · · · · · ·
10
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 · ·
· · · · 1 · · ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 · 6 · · · · ·
· · 8 · · · · ·
11
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 8 ·
· · · · 1 · · ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 · 6 · · · · ·
· · · · · · · ·
12
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 · ·
· · · · 1 · 8 ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 · 6 · · · · ·
· · · · · · · ·
13
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 · ·
· · · · 1 · 8 ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 6 · · · · ·
4 · · · · · · ·
· · · · · · · ·
14
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 6 ·
· · · · 1 · 8 ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 · · · · · · ·
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15
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 · 6
· · · · 1 · 8 ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
4 · · · · · · ·
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16
· · · · · · 5 ·
· · · · · 7 · 6
· · · · 1 · 8 ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
· 4 · · · · · ·
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17
· · · · · · 5 4
· · · · · 7 · 6
· · · · 1 · 8 ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· 2 · · · · · ·
· · · · · · · ·
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18
· · · · · · 5 4
· · · · · 7 · 6
· · · · 1 · 8 ·
· · · 9 · · · ·
· 2 3 · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
19
· · · · · 2 5 4
· · · · · 7 · 6
· · · · 1 · 8 ·
· · · 9 · · · ·
· · 3 · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
20
· · · · · 2 5 4
· · · · · 7 · 6
· · · · 1 · 8 ·
· · 3 9 · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
21
· · · · · 2 5 4
· · · · · 7 3 6
· · · · 1 · 8 ·
· · · 9 · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
22
· · · · · 2 5 4
· · · · · 7 3 6
· · · 9 1 · 8 ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
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· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
23
· · · · · 2 5 4
· · · · · 7 3 6
· · · · 1 · 8 9
· · · · · · · ·
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· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
24
· · · · · 2 5 4
· · · · · 7 3 6
· · · · · 1 8 9
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
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