This puzzle is a nice variation of the Hailstone Problem. Not quite the same, since every timer value can be increased and decreased. I solved it by C program, not by logic, assuming that "halve the time" does not mean "halve the number".
The least timer value that can't be set was
1384 seconds from 00:23:04
The greatest timer value that can be set is more than one day
88520 seconds from 23:95:20, actually 01:00:35:20
The conditions say the clock is reset when the hour > 23
So it has the allowed "nonsensical minutes and seconds values"
That was after 7267 button presses, here are the first few in the sequence:
U 00:00:10
U 00:01:00
U 00:10:00
U 01:00:00
U 10:00:00
D 05:00:00
D 02:30:00
U 23:00:00
D 11:30:00
U 13:00:00
D 06:30:00
D 03:15:00
D 01:37:30
U 13:73:00
D 06:66:30
D 03:33:15
D 01:46:37
U 14:63:70
D 07:31:65
etc...
The button sequence was:
UUUUUDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUUUDDDUUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUDUDUDDDUUUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUDUDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUUDDDUDDDUDDDUUUUDDDUUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUDUDDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUUDDDDDDUDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDDDUDDDUDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUUUDDDDUDDUDUDDDUUUUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUUDDDUDDDDUUDUDDDUDDDUUDDDDUDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUDDDDDUDUUDDDUDDDUDDDUUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUDDDDUUDUDUDDDUUDDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUUDDDUDDDUDDDUDUUDDDUUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDUDDUUUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUUDDDUDDDUDDDUDDDUUUDDDUDDDUDUDDDUUDDDDUUUDDDDUUDDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDDUDDUUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDUDUDDDUUDDUUDDDUUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUDDUUDDDUUDDDUDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDDDDDUDUUDDDUDUUDDDUUUDUDDDUDUDUDDDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDDUDDDUDUDDDDDUDUDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDUDDUDUDDDUDUDUDDDDUDDUUDDDDUDDDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDUDUDDDDUDDUUDDDUDDDDUDDDUDDDDUDDUUDDDDUDDDUDDDDUDDDDUUDDDUDUDDDDUDDUDDDUDDDDDUDDUDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDUDDUUDDDDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDDUUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDUDUUDDDUDDDUDDDUDDDDDUDDUDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDDDUDUDUDUDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDUDDUUDDDUDDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDDDUDUDDDDUDDUUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDDDDUDDDUDDDDUDUDDUDDDDUDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUDUDDUDDDDUDDUUUDDDDUDDDDUDDUDDDDUDUDDDDDDUUDDDDUUDUDDUDDDDUDUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDDDUDDDDUDDUUDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDUDUDDDDUDDDDDDUUDDDUDDDDUDDUUDDDDDUDUDUDDUDUDDDUDDDUDDDDDUDUDDDUUDDDDDUUDDDUDUDUDDDDDUDUUDDDUDDDDDUDDDUUDUUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUUDDDDUUDDDUDUDDDUDDDDUDDDUDUUDUDUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDDDUDDUDUDDDDUDDDDUDDUDDDDUDUDUDDDUDDDDUDDUDDDDDUDDDDUDUDDUDUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDDDUUDDDDUDDUDDDUDDDDDUDUDDDDUDDUUDUUDDDUDUDUDDDUDDDUUUDDDUDDDUDUDDDDDUDDDUDDUDDUDDUDDDUDDDDUDDUDDDDUDDUUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUDDDDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDUUDDDUDUDDDUUDDUDDDUDDDUUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDUDDDUDDDUUDDUDDDUUDDDDUUDDDUDDDDUDDDDDUDUDDDDDDUUUDDDDDUDUDDDUUDDUDUDDDUDDDDUDDDUDDUUDDDUUDDDUUDUDUDDUDDDUDDDDUDDDUDDUUDDDDDUDUUUDDDUUDDDDUDUDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDDDUDUDUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUUDDDUUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDDDUDDDDDUDUDDDDUDDUUDDDUDDDDUDDDDUDDUUDUDDDDUDDUDDDDUDDUUDUDDUDUDDDUUDDUDUDDUDUDDDDUDDUDDDDUDDUUDDDUDUDDDUDDDDUDDDDDUUDDDDUDUDUDDUDDDDUDUDDDDDUDUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDDUDUUDDDUDUDUDDDUDUDDDUUDDDUDDDDUDDDDUUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDUDUDDDUDDDUDDDDUDUDDDDDUDUDDDDUUDDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUUDDUDUDDUDUDUDDUDDDDDUDDUDDUUDDDUDDDUDDDUUDUDDDDUDUDDDDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDDUDDUUDDDUDUDDDUDDDUDUDDDUDUDUDDDUUDDUDDDDUDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDDUUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDDUDUDDDDUDDDDDDDUDUDDUDDDUDDUDDUDDDDUDDUUDDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDDDUDDUDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDDDUDDUDUDDDDDUDUDDDUDDDDUDDDUDDDDUDDUUDDDDUDDDDUDDUDDDUDDDDUDDUUDDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDDDDUDDDUUDDDUDDDDDUDDUDUDUDDDUDUDUDDDUUDDUDDUDUDDDDUDDUDDDDDDUUDDDUDDDDDUDDUDUUDDDUDDDDUDDDUDDDDDDDDDUDUDDUUDDDUDDDDUDDDDDDUUDDDUDUUDDDDDUDUDDDUDUDDDUDDDDUUUDUDDDUDUDDDUDUDUUDDDUUDDDDDDDUDDDUDDUUDDDUUDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDDUDDUDDUDDDUDDDDUDUDUDDDDUDDUUDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDDDDUDDUUDDDUDUDDDDUDDDUDDDDDUUDDDDUDDDDUDUDUDDDUDUDDUDDDUDDUDDDDDDUDUDUDDDUUDUDDDUDUDDDDDUDDDUDUDDDDDDUDUDUDUDDDUDDUUDDDUDUDDDDUDDDUDDDUDUDDDDUDDUDDDDUDUUDDDDUUDDDDUDDDDDDDDDUDDUDUUDDDUDDDDUDDUDDDDDUDUUDUDDDDUDUDDDDUDDDDUDDDUDUDDDUDDDDUUDDDUDDDUDDDUDDDUUDDUDUDDDDUDDDUDDDDUDDDUDUDDDUDDDDUDDDDUDDDUDDUDDUDDDDDUDDUDDDDUDUUDDDUUDDUDDDUDDUDDUDDUDDDDUDUDDDDUDDDDUDDDUDDUDDDUDDDUDDUDDDUDDDDDUUDDDUUDDDUDDDDDUDUUDDDUDDDUUDDUDUDDUDDDUDDUUDDDDDDUDDUDUDDDUDDDDDDDUDDUUDDDDDDUDUDDDUDUDUDDUDUDDDDDUDUDDDUDDDUDDDDDUDDUDDUDDDDUDDUDDDDUDUUDDDUUDDDDUDUDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDDUUDDDDUUDDDDUDDDDUDUDDDDUDDDDUDDUUDDDDDUDDDUDDUDUDDDDUDDDDDDUDUDUDUDUDDDUDDDDUDDDDUDUUDDDUUDDDUUDDUDDDDUDUDDDDUUDDDDUDDDUDDDDUDDUUDDDUDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDDUUDDDUUDDDUDUDUDDDUDDDDUDDUUDDDUDDDDUDDDDDDDDUDUDDUDDUDUDDDDDDUUDDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDUDDDDDDDUDDUUDDDUDDDUDUDDDDDDUUDDDUDUDDDDUUDDDUDDDUDDDDDDDDDUDUDDUUDDDUUDDDUDDDDDUDDUDDUUDDDUDUDDDUUDDDUDDDDDDDDUDDUDDUUDDDDUUDDDUDDDDDDUDUDDDUDDDDDUUDDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDDDDDUUUDDDDDUDUDDDUDDDDDUDDUDDDDUDUDDDDUUDDDDUDDDDUDDUUDDDUDDDDDUDUDUDDDDUUDDDDDDUDUDDUDDUDDDDDUDDDUDDDDDDUUDDUDDDDDUDUDDUDDUDDDDDUDDUDUDDDDUUDDDDDUDDDDDDUUDDDUDUDDDDDDDUDDUUDDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDUDDDDUUDDDUDDDDUUDDDUDDDDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDUDDDDUUDDDDDUDUDDDUDUDDDUDDDUDUDDDDUDDDUDUDDDDUDDDDUDDUDDDDDUUDDDDDDDUDDDDDDDDUDDUDUDUDDUUDDDUDDDUDDDDDDUDUDDDUDDDDUDDUDDDDUDDDDDUDUDUDDDDDDUUDDDUDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDDDDUUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDDDUDDUDUDDDDDUDUUDDDUUDDUDDDDUUDDDDDUDUDUDUDDDUDDDUDDDDDUDUUDDDUDDDDDUDUDDDDDDUDDUDDDUDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDDUDDDUDUUDDDUDUDUDDDDDDDDDUDDUUDDUDDDUDDDUDDDUDDDDDUDDDDDUDUDDDDDDDUDDUDUDDUDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDDUDDDDUUDDDUDUDDDUDDDUDDDDDDDUDDDDDDDDUDDUDDUDDUDDUDDDDUDUDDUDUDDUDDDDDDDUDDDUUDDUDDDUDDDUDDDDDUDUDDDUUDDUDDDDUUDDDDDUDDUDDDUDDDDDDDUDDDUDUDDUDUDUDDDUDUDDDDUDDDUUDDUDDDDUDDDDUDDUDDDDUDUDDDDUDDDDUDDUDDDDUDDUDDDDUDUDDDDDUDUDDDUDUDDDUDUDUDDDDUUDDDUDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDDDUDDDDUDDUDDDDUDDUUDDDUDDDDUDDDDDDDDDUDDUDDDUDDUDDDDUDDDUDDUUDDDUUDDDUDDDDDUDDDUDDUDDUDDDUDDDUDDDDUDDDDDDDDDUDUDDDDUDUDDDDDUDDUDDUDDUDUDDDUDDDDDDUDDDDUDDDDUDDDUDDUDUDDUDDDDDUDDUUDDDDUUDDDUDDDDDDDUDUDDDDDUDDDUDUDDDDDDDUDUDDUDUDDUDDDUDDDDDDUUDDDDUDDDUDUDDDUDDDUDUDDDDDDUUDDDDUDDDDUDUDDDUUDDDUDDDDUDDDUDUDDDDUDDDUDDDDUDUDDDDDUDDDUDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDDDDUDDDUDUDDDUDUDDDUDDDDDUDDUDDDUUDDDUDDDDDUDUDDDUDUDDUDDDDUDDUUDDDUDDDUDDDDDDUUDDDDUDDUUDDDUDDDDUDDDDUDUDDDDDUDDDDUDUDDDDDDUDDUDDDDDUDUDDDUUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDDDUUDDDDDUDUDDDDUUDDDDDDUDDDDUDUDDDDUDDDDDUDDDUDUDUDDUDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDDDUDUDDDUDUDDDDDDDDUDDUDUDDUDDUDDDDDUDDUDDDUDDUDDDUDDUDDDDDUDDDUUDDDUDDDDDUDUDDDDDDDUDDUUDDDUDDDUDDDDDUDUDDDDUUDDDDDUDDUDDDUDDDDDDUDDUDUDDDUDDDDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDDUDUDDDDUDDUDDDDDUDDDUUDDDUDDDDUUDDDDDDUUDDDUUDDDUDDDDDUDDUDDDUDDUDDUDDDDDUDDDDUDUDUDDDDDDUUDDDDDDUDDDDDDUDDUUDUDDDDDDUDUDDDDUDDDDDDUDDDDDDDUDUDUDUDDUDDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDDDUDUDDDDDDDUDUDDUDDDUUDDDDDDUUDDDUDDDDDUDUDDDDUUDDDUDDDUDUDDDDUDDDUDUDUDUDDDDUDDDUDDDDUDDUDDDDDUUDDDDDUDDDDUUDDDDUDDUDUDDDUDDDDUUDDDDDUDDDDDDUDDUDDUDUDDDUUDDDUUDDDDDUDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDUDDUDUDDUDDDUDDDDDDDDUDUDDDDUDDUDUDDDDUDDDUDUDDDDUDDUDDDUDDDDUDDUUDDDDUUDDUDDDDDDUUDDDDDUDDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDDDDUDDUDDDDDUDDDDUUDDDUDDDDUUDDDDDUDDUDUDDDUDDDDDUDUDDDUDDDDUDDDDDUDDUDUDDDUDUDDDUDDDUDDDDDUDDDDUDDUDDDDDUDUDDUDUDDDDDUDDDDUUDDDUUDDDDUDDDDUDUDDDDDUDUDDDDDUDUDDDDDDDUDDDUDDUUDDDUDDDDUDDDUDDDDDDUUDDDDUDDDUDUDDDUDDDDUDDDDDDDUDDUUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDDDUUDDDUDDDDDDUDUDDDUDDDDUDDDDUDUDDDUDDDUDDUDDDDUDUDDDUDUDDDUDDDDDDUUDDDDDUDUDDDUDDDDUUDDDUDDDDDUDDUDDUDDDDDDDUDDUDUDDDUDDDUDUDDDDUDDDDUDDDUDUDDDUDDDUDUDDDUDUDDUDDDUDDDUDDDUDDDUDDDDUDDDUDUDUDDDDUDUDDDDUDDDDDDDDDUDUDDUUDDDDUDDDDUUDDDU
I think it would be rather hard to work them out by hand.
Here is the (recursive) C code.
#include <stdio.h>
#define DIGITS 6
#define MAXSECS 10000000 // unreasonably large
#define MAXLEVEL 8000 // found earlier, empirically
char seq[MAXLEVEL];
char repeat[MAXSECS];
char found[MAXSECS];
int carryval[DIGITS] = { 0, 10, 6, 10, 6, 10 };
int maxec;
void recur(int level, int *arr)
{
// convert to decimal value
int decim = arr[0];
for(int i = 1; i < DIGITS; i++)
decim = decim * 10 + arr[i];
if(decim >= MAXSECS)
return; // unlikely precaution
if(repeat[decim])
return; // is cyclic
repeat[decim] = 1;
// convert to seconds
int timer = (arr[0] * 10 + arr[1]) * 3600
+ (arr[2] * 10 + arr[3]) * 60
+ arr[4] * 10 + arr[5];
if(timer >= MAXSECS)
return; // unlikely precaution
found[timer] = 1;
// find max possible
if(maxec < timer) {
maxec = timer;
int days = timer / 86400;
timer %= 86400;
int hrs = timer / 3600;
timer %= 3600;
int mins = timer / 60;
int secs = timer % 60;
printf("Max timer = %d seconds from %d%d:%d%d:%d%d, actually %02d:%02d:%02d:%02d, sequence length = %d\n", maxec,
arr[0], arr[1], arr[2], arr[3], arr[4], arr[5],
days, hrs, mins, secs, level);
for(int i = 0; i < level; i++)
printf("%c", seq[i]);
printf("\n\n");
}
int clk[DIGITS];
// up button - shift left
for(int i = 0; i < DIGITS - 1; i++)
clk[i] = arr[i + 1];
clk[DIGITS - 1] = 0;
if(clk[0] * 10 + clk[1] < 24) { // otherwise repeats from 1 second
seq[level] = 'U';
recur(level + 1, clk);
}
// down button - halve the time
int carry = 0;
for(int i = 0; i < DIGITS; i++) {
clk[i] = (carry * carryval[i] + arr[i]) / 2;
carry = arr[i] & 1;
}
seq[level] = 'D';
recur(level + 1, clk);
}
int main(void)
{
int arr[DIGITS] = { 0, 0, 0, 0, 0, 1 };
recur(0, arr);
// find smallest time not set
for(int i = 1; i < 86400; i++) {
if(found[i] == 0) {
printf("Not found: %d seconds from %02d:%02d:%02d\n", i,
i / 3600, (i % 3600) / 60, i % 60);
break;
}
}
}